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三角函数公式大全：从基础恒等式到万能公式，一文搞定

系统整理三角函数的所有核心公式，包括基本关系、诱导公式、和差化积、倍角半角、辅助角、万能公式等，配合详细推导与记忆技巧，是学习与复习的必备参考。

三角函数公式是高中数学、高等数学以及物理学、工程学等领域中最为重要的工具之一。无论是解题考试，还是实际工程计算，掌握这些公式都能让你如虎添翼。本文将为您系统性地梳理三角函数的所有核心公式，并附上记忆技巧与常见应用场景。

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一、基本定义与倒数关系

1.1 直角三角形定义

设直角三角形中，角 θ\theta 的对边为 aa、邻边为 bb、斜边为 cc，则：

sin⁡θ=ac,cos⁡θ=bc,tan⁡θ=ab\sin\theta = \frac{a}{c}, \quad \cos\theta = \frac{b}{c}, \quad \tan\theta = \frac{a}{b}

cot⁡θ=ba,sec⁡θ=cb,csc⁡θ=ca\cot\theta = \frac{b}{a}, \quad \sec\theta = \frac{c}{b}, \quad \csc\theta = \frac{c}{a}

1.2 倒数关系

六个三角函数之间存在三组倒数关系：

  • sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\sin\theta \cdot \csc\theta = 1
  • cos⁡θ⋅sec⁡θ=1\cos\theta \cdot \sec\theta = 1
  • tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

1.3 商数关系

  • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
  • cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

二、勾股恒等式（平方关系）

这是三角函数中最核心的恒等式，由勾股定理推导而来：

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

由此可推导出另外两组：

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

记忆技巧：第一个公式是基础；第二个公式就是第一个式子两边同除以 cos⁡2θ\cos^2\theta；第三个公式就是两边同除以 sin⁡2θ\sin^2\theta。

三、诱导公式

诱导公式帮助我们将任意角度的三角函数值转化为锐角的三角函数值。核心口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。

  • “奇变偶不变”：π2\frac{\pi}{2} 的奇数倍时，函数名改变（sin ↔ cos）；偶数倍时不变。
  • “符号看象限”：把原角看作锐角，判断对应象限的正负号。

常见诱导公式一览

原角sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
−θ-\theta−sin⁡θ-\sin\thetacos⁡θ\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta
π−θ\pi - \thetasin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ-\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta
π+θ\pi + \theta−sin⁡θ-\sin\theta−cos⁡θ-\cos\thetatan⁡θ\tan\theta
π2−θ\frac{\pi}{2} - \thetacos⁡θ\cos\thetasin⁡θ\sin\thetacot⁡θ\cot\theta
π2+θ\frac{\pi}{2} + \thetacos⁡θ\cos\theta−sin⁡θ-\sin\theta−cot⁡θ-\cot\theta
2π−θ2\pi - \theta−sin⁡θ-\sin\thetacos⁡θ\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta

四、和差公式（两角和与差）

和差公式是推导倍角公式、半角公式等一系列公式的基础：

4.1 正弦和差公式

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

4.2 余弦和差公式

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

注意：余弦公式中，加号在左则减号在右，与正弦公式相反。

4.3 正切和差公式

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

五、倍角公式

倍角公式是和差公式中令 α=β\alpha = \beta 的特殊情况：

5.1 二倍角公式

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta

tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

记忆技巧：余弦的二倍角有三种等价形式，都是由 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 替换而来。

5.2 三倍角公式

sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

记忆口诀：正弦 “三一减四三”，余弦 “四三减三一”。

六、半角公式

半角公式由二倍角公式变形而来，将 2θ2\theta 替换为 θ\theta，θ\theta 替换为 θ2\frac{\theta}{2}。

sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}

cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}

tan⁡θ2=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

注意：带根号的形式前面的正负号，需要根据 θ2\frac{\theta}{2} 所在的象限来确定。

七、积化和差与和差化积

7.1 积化和差公式

将两个三角函数的乘积转化为和或差：

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]

cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]

sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]

7.2 和差化积公式

将两个三角函数的和或差转化为乘积：

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

记忆口诀：和差化积中，“和”先求和再求差，“差”排列顺序类推；配合 sin/cos 的搭配组合来记忆。

八、万能公式

万能公式（也称 Weierstrass 代换）用 t=tan⁡θ2t = \tan\frac{\theta}{2} 将所有三角函数统一表达为关于 tt 的有理式，在积分计算中尤为常用：

sin⁡θ=2t1+t2\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}

cos⁡θ=1−t21+t2\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

tan⁡θ=2t1−t2\tan\theta = \frac{2t}{1 - t^2}

其中 t=tan⁡θ2t = \tan\dfrac{\theta}{2}。

九、辅助角公式

辅助角公式用于将 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\theta 的形式合并为一个三角函数，从而方便求最值和解方程：

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+φ)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \varphi)

其中 tan⁡φ=ba\tan\varphi = \dfrac{b}{a}。

等价形式：

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2cos⁡(θ−ψ)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(\theta - \psi)

其中 tan⁡ψ=ab\tan\psi = \dfrac{a}{b}。

应用场景：求 y=3sin⁡x+4cos⁡xy = 3\sin x + 4\cos x 的最大值？利用辅助角公式，32+42=5\sqrt{3^2+4^2} = 5，故最大值为 55。

十、降幂公式

降幂公式用于将高次三角函数降为低次，在积分计算中极为实用：

sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

sin⁡2θ⋅cos⁡2θ=1−cos⁡4θ8\sin^2\theta \cdot \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}

十一、常用特殊角的三角函数值

角度0°0°30°30°45°45°60°60°90°90°120°120°180°180°
弧度00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}2π3\frac{2\pi}{3}π\pi
sin⁡\sin0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}1132\frac{\sqrt{3}}{2}00
cos⁡\cos1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00−12-\frac{1}{2}−1-1
tan⁡\tan0033\frac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}无定义−3-\sqrt{3}00

十二、正弦定理与余弦定理

这两个定理用于处理任意三角形（不限于直角三角形）中边与角的关系。

12.1 正弦定理

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

其中 RR 是三角形外接圆的半径。

12.2 余弦定理

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

等价形式：

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

应用场景：已知三角形三边长度求各角度，或者已知两边及其夹角求第三边长。

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